Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=

2

，E為PD上一點(diǎn)，PE=2ED．
（Ⅰ）求證：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直線CE與平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)勾股定理的逆定理，得到△PAD是以PD為斜邊的直角三角形，從而有PA⊥AD，再結(jié)合PA⊥CD，AD、CD 相交于點(diǎn)D，可得PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）由（I）知PA⊥面ABCD，則可證CD⊥面PAD，由此可得∠CED為直線CE與面PAD所成的角，通過解三角形可得直線CE與平面PAD所成角的正弦值．

解答：解：（Ⅰ）∵PA=AD=1，PD=

2

，
∴PA²+AD²=PD²，可得△PAD是以PD為斜邊的直角三角形
∴PA⊥AD---（2分）
又∵PA⊥CD，AD、CD 相交于點(diǎn)D，
∴PA⊥平面ABCD-------（6分）
（Ⅱ）解：因?yàn)镃D⊥面PAD，所以CE在面PAD上的射影即為ED，
即∠CED為直線CE與面PAD所成的角，
∵PD=

2

，E為PD上一點(diǎn)，PE=2ED．
∴ED=

2

3

，
又∵CD=1，
∴tan∠CED=

3 2

2

，
∴所以sin∠CED=

1

1+( 2 3 )2

=

3 11

11

．
即直線CE與平面PAD所成角的正弦值為

3 11

11

．-------（12分）

點(diǎn)評：本題考查了直線與平面垂直的判定，考查了直線與平面所成的角，綜合考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，解答的關(guān)鍵是創(chuàng)設(shè)判定定理成立的條件，是中檔題．