Question

若函數f（x）=x²+ax+b有兩個零點cosα，cosβ，其中α，β∈（0，π），那么在f（-1），f（1）兩個函數值中（　�。�

A．只有一個小于1

B．至少有一個小于1

C．都小于1

D．可能都大于1

Answer 1

分析：因為cosα，cosβ是函數f（x）=x²+ax+b有兩個零點，所以可用cosα及cosβ表示f（1）、f（-1），再對α、β分①當0＜α＜β≤

π

2

時；②當

π

2

≤α＜β＜π時；③當0＜α≤

π

2

＜β＜π時，及當0＜α＜

π

2

≤β＜π時討論即可．

解答：解：∵函數f（x）=x²+ax+b有兩個零點cosα，cosβ，∴cosα+cosβ=-a，cosα×cosβ=b．
∴f（1）=1+a+b=1-cosα-cosβ+cosα cosβ=（1-cosα）（1-cosβ），
f（-1）=1-a+b=1+cosα+cosβ+cosα cosβ=（1+cosα）（1+cosβ）．
∵α，β∈（0，π），下面對α，β分以下三種情況討論（不妨設α＜β）．
①當0＜α＜β≤

π

2

時，0≤cosβ＜cosα＜1，
∴1＞1-cosα＞0，1≥1-cosβ＞0，1+cosα＞1，1+cosβ≥1，
∴f（1）＜1，f（-1）＞1．
②當

π

2

≤α＜β＜π時，-1＜cosβ＜cosα≤0，
∴0＜1+cosβ＜1，0＜1+cosα≤1，1-cosβ＞1，1-cosα≥1，
∴f（1）＞1，f（-1）＜1．
③當0＜α≤

π

2

＜β＜π時，-1＜cosβ＜0≤cosα＜1，cosαcosβ≤0．
當cosα=0時，f（-1）=1+cosβ＜1．
下面對cosαcosβ＜0用反證法證明f（1）、f（-1）必有一個小于1．
假設f（1）≥1，f（-1）≥1，
則1-cosα-cosβ+cosα cosβ≥1，1+cosα+cosβ+cosα cosβ≥1，
∴cosαcosβ≥cosα+cosβ≥-cosαcosβ，
∴cosαcosβ≥0，
這與cosαcosβ＜0矛盾，故f（1）與f（-1）中必有一個小于1．
對0＜α＜

π

2

≤β＜π時，同理可得f（1）與f（-1）中必有一個小于1．
綜上①②③可知：f（1）與f（-1）中必有一個小于1．
故選B．

點評：本題綜合考查了一元二次方程的根與系數的關系、函數的零點、三角函數的單調性及值域，分類討論是解決此問題的關鍵．