Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）若E、F分別為AD、AA₁的中點，求證：EF∥平面AB₁C；
（2）求平面B₁AC與平面ABC所成銳二面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）連接A₁D，由E、F分別為AD、AA₁的中點，知EF∥A₁D，由此能夠證明EF∥平面AB₁C． （2）連接AC，BD交于點O，連接B₁O，則∠B₁OB為所求平面B₁AC與平面ABC所成銳二面角．由此能求出結果．

解答：解：（1）如圖所示，連接A₁D，
由E、F分別為AD、AA₁的中點，
則EF∥A₁D，
由ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，
所以A₁D∥B₁C，所以EF∥平面AB₁C．
（2）連接AC，BD交于點O，連接B₁O，
則∠B₁OB為所求．
設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，
則BB₁=1，BD=

2

2

，
∴tan∠B₁OB=

1

2 2

=

2

．

點評：本題考查直線與平面平等的證明，考查平面與平面所成的二面角的正切值的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地化立體問題為平面問題．