Question

如圖，有一邊長為2米的正方形鋼板缺損一角(圖中的陰影部分)，邊緣線是以直線為對稱軸，以線段的中點為頂點的拋物線的一部分．工人師傅要將缺損一角切割下來，使剩余的部分成為一個直角梯形．

（Ⅰ）請建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担�求陰影部分的邊緣線的方程;

（Ⅱ）如何畫出切割路徑，使得剩余部分即直角梯形的面積最大？

并求其最大值．

 

Answer 1

【答案】

(I) .(Ⅱ)當時，可使剩余的直角梯形的面積最大，其最大值為.  

【解析】

試題分析：(I)以為原點，直線為軸，建立如圖所示的直角坐標系，

依題意

可設拋物線弧的方程為

∵點的坐標為， ∴，

故邊緣線的方程為.

(Ⅱ)要使梯形的面積最大，則所在的直線必與拋物線弧相切，設切點坐標為，   ∵，

∴直線的的方程可表示為，即 ， 由此可求得，.

，   ，

設梯形的面積為，則

. ∴當時，

故的最大值為. 此時.

答：當時，可使剩余的直角梯形的面積最大，其最大值為.  

考點：本題主要考查拋物線在實際問題中的應用以及二次函數(shù)的圖象和性質。

點評：解應用題常用的方法是依據(jù)題意建立等量關系，構造數(shù)學模型利用函數(shù)的性質進行求解，而有些應用題有明顯的幾何意義，可以考慮利用解析法根據(jù)題意建立適當?shù)淖鴺讼担瑯嬙烨�線方程，利用曲線的性質進行求解．