Question

已知圓C1：x2+y2=4，圓C2：x2+y2=25．點O為坐標原點，點M是圓C₂上的一動點，線段OM交圓C₁于N，過點M作x軸的垂線交x軸于M₀，過點N作M₀M的垂線交M₀M于P．
（1）當動點M在圓C₂上運動時，求點P的軌跡C的方程．
（2）設直線l：y=

x

5

+m與軌跡C交于不同的兩點，求實數m的取值范圍．
（3）當m=

5

5

時，直線l與軌跡C相交于A，B兩點，求△OAB的面積．

Answer 1

分析：（1）設出點P的坐標，可以表示出或設出點M，N的坐標，再根據點M，N分別在圓C₂，C₁上，即可用點P的坐標表示點M的坐標，用“代點法”即可得出；
（2）利用（1）的軌跡C的方程與直線方程聯立，消去一個未知數得到關于另一個未知數的一元二次方程，由于直線l與軌跡C交于不同的兩點，必須滿足△＞0即可求出；
（3）利用點到直線的距離公式和弦長公式即可得出．

解答：解（1）設點P（x，y）．則M（x，y_M），N（x_N，y）．從而

OM

=(x，yM)，

ON

=(xN，y)
∵

OM

=

5

2

ON

，∴(x，yM)=

5

2

(xN，y)．即x=

5

2

xN，yM=

5

2

y．∴M(x，

5

2

y)．
∵點M在圓C₂上，∴x2+(

5

2

y)2=25．整理得點P的軌跡C的方程：

x2

25

+

y2

4

=1．
（2）聯立

x2 25 + y2 4 =1 y= x 5 +m

消y得到x²+2mx+5m²-20=0．
∵直線l：y=

x

5

+m與軌跡C交于不同的兩點，∴△=（2m）²-4（5m²-20）＞0，即m²＜5．
∴實數m的取值范圍為(-

5

，

5

)．
（3）直線l：y=

x

5

+

5

5

．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯立

x2 25 + y2 4 =1 y= x 5 + 5 5

消x得到x2+

2 5

5

x-19=0．
則x1+x2=-

2 5

5

，x1x2=-19．
|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(x1-x2)2+[( x1 5 + 5 5 )-( x2 5 + 5 5 )]2

=

26

5

(x1-x2)2

=

26

5

(x1+x2)2-4x1x2

=

26

5

×

8 6

5

．
直線l：x-5y+

5

=0．設O到直線AB的距離為d，則d=

|0-5×0+ 5 |

1+52

=

5

26

．
S△OAB=

1

2

|AB|d=

1

2

×

26

5

×

8 6

5

×

5

26

=

4 6

5

．

點評：熟練掌握直線與圓錐曲線的相交問題轉化為關于一個未知數的一元二次方程求解問題進而轉化為△與0的大小比較問題、“代點法”、弦長公式、點到直線的距離公式是解題的關鍵．