Question

（本小題滿分10分）設圓滿足：
(Ⅰ)截y軸所得弦長為2；
(Ⅱ)被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3∶1．
在滿足條件(Ⅰ)、(Ⅱ)的所有圓中，求圓心到直線l:x-2y=0的距離最小的圓的方程.

Answer 1

解法一 設圓的圓心為P(a，b)，半徑為r，則點P到x軸，y軸的距離分別為|b|，|a|。由題設知圓P截x軸所得劣弧所對的圓心角為90°，∴圓P截x軸所得的弦長為r，故r²=2b²。 又圓P截y軸所得的的弦長為2，所以有r²=a²+1。從而得2b²-a²=1。又點P(a，b)到直線x-2y=0的距離為d=，所以5d²=|a-2b|²=a²+4b²-4ab≥a²+4b² -2(a²+b²)=2b²-a²=1，當且僅當a=b時，上式等號成立，從而要使d取得最小值，則應有，解此方程組得或。又由r²=2b²知r=。于是，所求圓的方程是(x-1)²+(y-1)²=2或(x+1)²+(y+1)²=2。------10分
解法二 同解法一得d=，∴a-2b=±d，得a²=4b²±bd+5d²     ①
將a²=2b²-1代入①式，整理得2b²±4bd+5d²+1="0 " ② 把它看作b的二次方程，由于方程有實根，故判別式非負，即△=8(5d²-1)≥0，得5d²≥1。所以5d²有最小值1，從而d有最小值。將其代入②式得2b²±4b+2=0，解得b=±1。將b=±1代入r²=2b²得r²=2，由r²=a²+1得a=±1。綜上a=±1，b=±1，r²=2。由|a-2b|=1知a，b同號。于是，所求圓的方程是(x-1)²+(y-1)²=2或(x+1)²+(y+1)²=2。--------10分

略