Question

已知數列{a_n}和{b_n}滿足a₁=2，a_n-1=a_n（a_n+1-1），b_n=a_n-1，數列{b_n}的前n和為S_n．
（1）求數列{b_n}的通項公式；
（2）設T_n=S_2n-S_n，求證：T_n+1＞T_n；
（3）求證：對任意的n∈N^*有成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設條件可知b_n-b_n+1=b_nb_n+1，從而得，所以數列是首項為1，公差為1的等差數列，由此可知數列{b_n}的通項公式．
（2）由題設知T_n=S_2n-S_n==．故，由此可證明T_n+1＞T_n．
（3）根據題設條件可以用數學歸納法進行證明．
解答：解：（1）由b_n=a_n-1得a_n=b_n+1代入a_n-1=a_n（a_n+1-1）得b_n=（b_n+1）b_n+1
整理得b_n-b_n+1=b_nb_n+1，（1分）
∵b_n≠0否則a_n=1，與a₁=2矛盾
從而得，（3分）
∵b₁=a₁-1=1
∴數列是首項為1，公差為1的等差數列
∴，即．（4分）
（2）∵
∴T_n=S_2n-S_n=
=（6分）
∵2n+1＜2n+2∴
∴
∴T_n+1＞T_n．（8分）
（3）用數學歸納法證明：
①當n=1時，不等式成立；（9分）
②假設當n=k（k≥1，k∈N^*）時，不等式成立，即，那么當n=k+1時==（12分）
=
∴當n=k+1時，不等式成立
綜①②知對任意的n∈N^*，不等式成立．（14分）
點評：本題考查數列的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答．