Question

已知函數f(x)=

2

x

+alnx-2
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線與直線y=x+2垂直，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，求a的范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，利用曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線與直線y=x+2垂直，建立方程，即可求a的值；
（Ⅱ）求導函數，分類討論，確定函數的單調性，即可求得a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）函數y=f（x）的導數為f′（x）=-

2

x2

+

a

x

，則
∵曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線與直線y=x+2垂直，直線y=x+2的斜率為1，
∴f′（1）=-2+a=-1，∴a=1；
（Ⅱ）求導數可得f′(x)=

ax-2

x2

(x≥1)
a≥2時，f′（x）≥0，函數在x∈[1，+∞）上單調遞增，∴f（x）_min=f（1）=0，滿足題意；
a＜2時，f′（x）＜0，函數在x∈[1，+∞）上單調遞減，∴f（x）_max=f（1）=0，不滿足題意
綜上，a的范圍為[2，+∞）．

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性與最值，屬于中檔題．