Question

【題目】已知各項不為零的數列{an}的前n項和為Sn ， 且a1=1，Sn=panan+1（n∈N*），p∈R．
（1）若a1 ， a2 ， a3成等比數列，求實數p的值；
（2）若a1 ， a2 ， a3成等差數列，
①求數列{an}的通項公式；
②在an與an+1間插入n個正數，共同組成公比為qn的等比數列，若不等式（qn）（n+1）（n+a）≤e對任意的n∈N*恒成立，求實數a的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當n=1時，a1=pa1a2， ，當n=2時，a1+a2=pa2a3， ，

由 得 ，即p2+p﹣1=0，解得：

（2）

解：①由2a2=a1+a3得 ，故a2=2，a3=3，所以 ，

當n≥2時， ，

因為an≠0，所以an+1﹣an﹣1=2

故數列{an}的所有奇數項組成以1為首項2為公差的等差數列，

其通項公式

同理，數列{an}的所有偶數項組成以2為首項2為公差的等差數列，

其通項公式是

所以數列{an}的通項公式是an=n

②an=n，在n與n+1間插入n個正數，組成公比為qn的等比數列，故有 ，

即

所以 ，即 ，兩邊取對數得 ，

分離參數得 恒成立

令 ，x∈（1，2]，則 ，x∈（1，2]，…（12分）

令 ，x∈（1，2]，則 ，

下證 ，x∈（1，2]，

令 ，則 ，所以g（x）＞0，

即 ，用 替代x可得 ，x∈（1，2]，

所以 ，所以f（x）在（1，2]上遞減，

所以

【解析】（1）利用遞推關系、等比數列的性質即可得出p．（2）①利用遞推關系、等差數列的性質即可得出an ． ②an=n，在n與n+1間插入n個正數，組成公比為qn的等比數列，故有 ，即 ，即 ，兩邊取對數得 ，分離參數得 恒成立．令 ，x∈（1，2]，則 ，x∈（1，2]，令 ，x∈（1，2]，利用導數研究其單調性極值與最值即可得出．
【考點精析】通過靈活運用數列的通項公式，掌握如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式即可以解答此題．