Question

如圖，已知橢圓C：與拋物線E：y²=4x有一個公共的焦點F，且兩曲線在第一象限的交點P的橫坐標為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l：y=kx與拋物線E的交點為O，Q，與橢圓c的交點為M，N（N在線段OQ上），且|MO|=|NQ|． 問滿足條件的直線l有幾條，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）確定橢圓的焦點坐標，點P的坐標，利用點P在橢圓C上，求得a的值，根據c=1，b=，即可求得橢圓C的方程；
（2）聯立直線與橢圓方程，可求M的坐標，聯立直線與拋物線，可求Q的坐標，根據|MO|=|NQ|，可得N為線段OQ的中點，從而可建立方程，由此可得結論．
解答：解：（1）∵拋物線E：y²=4x的焦點F（1，0），∴橢圓的焦點坐標為（±1，0）．
由點P在拋物線y²=4x上，所以P（，）．
又點P在橢圓C上，所以2a=4，所以a=2，
又c=1，故b==，從而橢圓C的方程為     （5分）
（2）聯立直線與橢圓方程得，消去y可得3x²+4k²x²=12，∴．（7分）
聯立直線與拋物線得，消去y可得k²x²=4x，解得x=0或x=        （9分）
∵|MO|=|NQ|，∴N為線段OQ的中點，∴=，
化簡得3k⁴-4k²-3=0，解得k²=（負值舍去），故滿足題意的k值有2個．
從而存在過原點O的兩條直線l滿足題意．（12分）
點評：本題考查拋物線的幾何性質，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓、拋物線的位置關系，屬于中檔題．