Question

如圖所示，設P₁，P₂，…，P_n，…是半拋物線上的點列，Q₁，Q₂，…Q_n，…是x軸正半軸上的點列，且△OQ₁P₁，△Q₁Q₂P₂，…，△Q_n-1Q_nP_n，…都是正三角形．設它們的邊長為a₁，a₂，…，a_n，…，求證：a₁+a₂+…+ a_n=n(n+1)．

 

 

Answer 1

答案：
提示：

證明：(1)當n=1時，因為P1是直線y=與半拋物線y=的交點， 　　∴　P1點的坐標為 　　∴　a1=|OP1|= 　　而，命題成立． 　　(2)假設n=k時命題成立，即 　　a1+a2+…+ak 　　則Qk點的坐標為，直線QkPk+1的方程為y=，代入y=，解得Pk+1點的坐標為， 　　ak+1=|QkPk+1| 　　　 　　　 　　由此可得　a1+a2+…+ak+ak+1 　　　　　　 　　　　　　 　　這說明n=k+1時命題也成立． 由(1)、(2)可知，命題對所有n(n∈N*)都成立．