Question

直線y=

3

2

x+3與曲線-

x|x|

4

+

y2

9

=1交點的個數是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：當x≥0時，曲線方程是

y2

9

-

x4

4

=1．這是焦點在y軸上的雙曲線的右邊的一半；當x≤0時，曲線方程是

y2

9

+

x2

4

=1．這是焦點在y軸上的橢圓在y軸的左邊的一半；直線y=

3

2

x+3是經過點（0，3）（雙曲線和橢圓的共同頂點）斜率是

3

2

的直線，由此能得到直線和曲線有不同的交點的個數．

解答：解：當x≥0時，曲線方程是

y2

9

-

x4

4

=1．
這是焦點在y軸上的雙曲線的右邊的一半；
當x≤0時，曲線方程是

y2

9

+

x2

4

=1．
這是焦點在y軸上的橢圓在y軸的左邊的一半；
直線y=

3

2

x+3是經過點（0，3）（雙曲線和橢圓的共同頂點）斜率是

3

2

的直線，
由此直線和曲線有三個不同的交點（其中一個是頂點對應x=0）．
故選C．

點評：本題主要考查圓錐曲線標準方程，簡單幾何性質，直線與圓錐曲線的位置關系，圓錐曲線的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．