Question

已知函數f（x）=x+

4

x

（1）用定義證明函數f（x）在（0，2）上為減函數；
（2）若x∈[1，2]，求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由f（x）的解析式，對任意的0＜x₁＜x＜2，計算f（x₁）-f（x₂）＞0，可得函數f（x）在[1，2]上為減函數．
（2）根據f（x）在[1，2]上為減函數，求得f（x）在[1，2]上的值域．

解答：解：（1）∵f（x）=x+

4

x

，
對任意的0＜x₁＜x＜2，
f(x1)-f(x2)=x1+

4

x1

-x2-

4

x2

=(x1-x2)×

x1x2-4

x1x2

，
由題設可得，0＜x₁＜x₂＜2，0＜x₁x₂＜4，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
f（x₁）＞f（x₂），
故函數f（x）在[1，2]上為減函數．
（2）由（1）得f（x）在[1，2]上為減函數． 
f（x）_max=f（1）=5，f（x）_min=f（2）=4，
故f（x）在[1，2]上的值域為[4，5]．

點評：本題主要考查函數的單調性的證明、函數的單調性的應用，屬于中檔題．