Question

設

m

=(

a-1

x-2

，2-a)，

n

=(x，

1

x-2

)，解關于x的不等式：

m

•

n

＞0．(a∈R)．

Answer 1

分析：先根據向量的數量積運算，將原不等式化為

m

•

n

=

(a-1)x

x-2

+

2-a

x-2

=

(a-1)x+2-a

x-2

＞0，再考慮轉化成整式不等式求解，注意對a-1的取值合理的分類討論．

解答：解：∵

m

•

n

=

(a-1)x

x-2

+

2-a

x-2

=

(a-1)x+2-a

x-2

＞0（2分）
（1）a=1時，原不等式?

1

x-2

＞0?x＞+2（2分）
（2）a＞1時，原不等式?

x- a-2 a-1

x-2

＞0∵

a-2

a-1

-2=

-a

a-1

＜0
∴原不等式?x＜

a-2

a-1

或x＞2（6分）
（3）a＜1時，原不等式?

x- a-2 a-1

x-2

＜0
①0＜a＜1時，

a-2

a-1

＞2原不等式?2＜x＜

a-2

a-1

（8分）
②a=0時，

a-2

a-1

=2原不等式?（x-2）²＜0的解集為φ（10分）
③a＜0時，

a-2

a-1

＜2原不等式?

a-2

a-1

＜x＜2（12分）
綜上所述：當a=1時，不等式的解集為：{x|x＞2}
當a＞1時，不等式的解集為：{x|x＜

a-2

a-1

或x＞2}
當0＜a＜1時，不等式的解集為：{x|2＜x＜

a-2

a-1

}
當a=0時，不等式的解集為：φ
當a＜0時，不等式的解集為：{x|

a-2

a-1

＜x＜2}（13分）

點評：本題考查向量的數量積運算，分式不等式的解法．分式不等式一般轉化為整式不等式（一元一次不等式，一元二次不等式，絕對值不等式等）求解．要求具有轉化、分類討論、計算等能力和意識．