Question

在數列{a_n}與{b_n}中，a₁=1，b₁=4，數列{a_n}的前n項和S_n滿足nS_n+1-（n+3）S_n=0，2a_n+1為b_n與b_n+1的等比中項，n∈N*．
（Ⅰ）求a₂，b₂的值；
（Ⅱ）求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（Ⅲ）設．證明|T_n|＜2n²，n≥3．

Answer 1

解：（Ⅰ）解：由題設有a₁+a₂-4a₁=0，a₁=1，解得a₂=3．由題設又有4a₂²=b₂b₁，b₁=4，解得b₂=9．
（Ⅱ）解：由題設nS_n+1-（n+3）S_n=0，a₁=1，b₁=4，及a₂=3，b₂=9，進一步可得a₃=6，b₃=16，a₄=10，b₄=25，猜想，b_n=（n+1）²，n∈N^*．
先證，n∈N^*．
當n=1時，，等式成立．當n≥2時用數學歸納法證明如下：
（1）當n=2時，，等式成立．
（2）假設n=k時等式成立，即，k≥2．
由題設，kS_k+1=（k+3）S_k（k-1）S_k=（k+2）S_k-1
①的兩邊分別減去②的兩邊，整理得ka_k+1=（k+2）a_k，從而．
這就是說，當n=k+1時等式也成立．根據（1）和（2）可知，等式對任何的n≥2成立．
綜上所述，等式對任何的n∈N^*都成立
再用數學歸納法證明b_n=（n+1）²，n∈N^*．
（1）當n=1時，b₁=（1+1）²，等式成立．
（2）假設當n=k時等式成立，即b_k=（k+1）²，那么．
這就是說，當n=k+1時等式也成立．根據（1）和（2）可知，等式b_n=（n+1）²對任何的n∈N^*都成立．
（Ⅲ）證明：當n=4k，k∈N^*時，Tn=-2²-3²+4²+5²--（4k-2）²-（4k-1）²+（4k）²+（4k+1）²．
注意到-（4k-2）²-（4k-1）²+（4k）²+（4k+1）²=32k-4，故4k（4k+4）-4k=（4k）²+3×4k=n²+3n．
當n=4k-1，k∈N^*時，T_n=（4k）²+3×4k-（4k+1）²=（n+1）²+3（n+1）-（n+2）²=n
當n=4k-2，k∈N^*時，T_n=（4k）²+3×4k-（4k+1）²-（4k）²=3（n+2）-（n+3）²=-n²-3n-3．
當n=4k-3，k∈N^*時，T_n=3×4k-（4k+1）²+（4k-1）²=3（n+3）-（n+4）²+（n+2）²=-n-3．
所以．
從而n≥3時，有
總之，當n≥3時有，即|T_n|＜2n²．
分析：（Ⅰ）解：題設有a₁+a₂-4a₁=0，a₁=1，4a₂²=b₂b₁，b₁=4，由此可求出a₂，b₂的值．
（Ⅱ）由題設條件猜想，b_n=（n+1）²，n∈N^*．再用數學歸納法進行證明．
（Ⅲ）由題設條件知．由此可以導出|T_n|＜2n²．
點評：本題主要考查等差數列的概念、通項公式及前n項和公式、等比數列的概念、等比中項、不等式證明、數學歸納等基礎知識，考查運算能力和推理論證能力及分類討論的思想方法．