Question

如圖，正方形ABCD所在平面與平面四邊形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，FA=FE，∠AEF=45°．
（I）求證：EF⊥平面BCE；
（II）設線段CD的中點為P，在直線AE上是否存在一點M，使得PM∥平面BCE？若存在，請指出點M的位置，并證明你的結論；若不存在，請說明理由；
（III）求二面角F-BD-A的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先證明AD，AB，AE兩兩垂直，再建立坐標系，證明EF⊥BE，EF⊥BC，利用線面垂直的判定，即可證明EF⊥平面BCE；
（II）證明PM⊥FE，又EF⊥平面BCE，直線PM不在平面BCE內，即可得到PM∥平面BCE；
（Ⅲ）確定平面BDF的一個法向量、平面ABD的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角F-BD-A的余弦值．

解答：（Ⅰ）證明：因為△ABE為等腰直角三角形，AB=AE，所以AE⊥AB．
又因為平面ABEF⊥平面ABCD，AE?平面ABEF，平面ABEF∩平面ABCD=AB，
所以AE⊥平面ABCD，所以AE⊥AD．
因此，AD，AB，AE兩兩垂直，以A為坐標原點，建立如圖所示的直角坐標系A-xyz．
設AB=1，則AE=1，B（0，1，0），D （1，0，0 ），E （ 0，0，1 ），C （ 1，1，0 ）．
因為FA=FE，∠AEF=45°，所以∠AFE=90°，從而F(0，-

1

2

，

1

2

)，
所以

EF

=(0，-

1

2

，-

1

2

)，

BE

=(0，-1，1)，

BC

=(1，0，0)．
所以

EF

•

BE

=0+

1

2

-

1

2

=0，

EF

•

BC

=0．
所以EF⊥BE，EF⊥BC．
因為BE?平面BCE，BC∩BE=B，所以EF⊥平面BCE．…（4分）
（Ⅱ）解：存在點M，當M為AE中點時，PM∥平面BCE．
M(0，0，

1

2

)，P(1，

1

2

，0)，從而

PM

=(-1，-

1

2

，

1

2

)，
于是

PM

•

EF

=(-1，-

1

2

，

1

2

)•(0，-

1

2

，-

1

2

)=0．
所以PM⊥FE，
又EF⊥平面BCE，直線PM不在平面BCE內，故PM∥平面BCE．…（8分）
（Ⅲ）解：設平面BDF的一個法向量為

n1

，并設

n1

=（x，y，z）．
∵

BD

=(1，-1，0)，

BF

=(0，-

3

2

，

1

2

)，且

n1 • BD =0 n1 • BF =0

，
∴

x-y=0 - 3 2 y+ 1 2 z=0

，取y=1，則x=1，z=3，從而

n1

=(1，1，3)，
取平面ABD的一個法向量為

n2

=(0，0，1)，∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

3

11

=

3 11

11

．
故二面角F-BD-A的余弦為

3 11

11

．…（12分）

點評：本題考查線面垂直，考查線面平行，考查面面角，考查向量知識的運用，屬于中檔題．