Question

在區間（0，2）內任取兩數m，n（m≠n），則橢圓

x2

m2

+

y2

n2

=1的離心率大于

3

2

的概率是

1

2

．

Answer 1

分析：由已知中在區間（0，2）內任取兩個實數，我們易求出該基本事件對應的平面區域的大小，再求了滿足條件橢圓

x2

m2

+

y2

n2

=1的離心率大于

3

2

對應的平面區域的面積大小，代入幾何概型公式，即可得到答案．

解答：解：區間（0，2）內任取兩個實數計為（m，n），
則點對應的平面區域為下圖所示的正方形，
當m＞n時，橢圓

x2

m2

+

y2

n2

=1的離心率e=

m2-n2

m

＞

3

2

，化簡得，m＞2n；
當M＜n時，橢圓

x2

m2

+

y2

n2

=1的離心率e=

n2-m2

n

＞

3

2

，化簡得，n＞2m；
故其中滿足橢圓

x2

m2

+

y2

n2

=1的離心率大于

3

2

時，有m＞2n或n＞2m．
它表示的平面區域如下圖中陰影部分所示：
其中正方形面積S=4，陰影部分面積S_陰影=2×

1

2

×2×1=2．
∴所求的概率P=

S陰影

S

=

1

2

故答案為：

1

2

．

點評：本題考查的知識點是幾何概型，其中計算出總的基本事件對應的幾何圖形的面積及滿足條件的幾何圖形的面積是解答本題的關鍵．