Question

已知S（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，且a₁，a₂，…，a_n組成等差數列，n為正偶數，設S（1）=n²，S（-1）=n．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）證明S(

1

2

)＜3.

Answer 1

分析：（1）利用已知條件，寫出S（1），S（-1）的表達式，結合等差數列的前n項和公式和等差數列的性質，列方程求出a₁、d，進而寫出a_n．
（2）利用錯位相減法先求出s（

1

2

），再利用極限思想證明即可．

解答：解：（Ⅰ）設等差數列{a_n}的公差為d，
由題意知

na1+ n(n-1) 2 d=n2 a2-a1+a4-a3+…+an-an-1=n.

∴

a1+ n-1 2 d=n. d 2 n=n.

∴a₁=d，d=2．a_n=2n-1．（6分）
證明：（Ⅱ）由S(

1

2

)=1×

1

2

+3×(

1

2

)2+…+(2n-1)×(

1

2

)n，①
則

1

2

S(

1

2

)=1×(

1

2

)2+…+(2n-3)×(

1

2

)n+(2n-1)×(

1

2

)n+1②
①-②得，

1

2

S(

1

2

)=

1

2

+2[(

1

2

)2+…+(

1

2

)n]-(2n-1)•(

1

2

)n+1
=

1

2

+

2× 1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-(2n-1)•(

1

2

)n+1
=

3

2

-(

1

2

)n-1-(2n-1)•(

1

2

)n+1＜

3

2

（n是正偶數），
∴S(

1

2

)＜3.（13分）

點評：本題主要考查數列的遞推公式、數列求和以及數列與表達式的綜合應用問題，考查學生分析問題、解決問題以及推理論證的能力．