Question

（）（本小題滿(mǎn)分12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且

（Ⅰ）寫(xiě)出與的遞推關(guān)系式（）；

（Ⅱ）求關(guān)于的表達(dá)式；

（Ⅲ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和。

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析:

法1：（Ⅰ）由及得

即

∴

（Ⅱ）由得

∴是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，

故

∴

（Ⅲ）∵

∴

∴

∴………………①

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)………………②

由①－②得

；

∴

綜上得。

解法二、

（Ⅰ）由及得

猜測(cè)。用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

（1）時(shí)，猜測(cè)成立；

（2）假設(shè)時(shí)，命題成立，即，則

∴，即，即時(shí)命題也成立。

綜合（1）、（2）知對(duì)于都有

所以，故。

（Ⅱ），證明見(jiàn)（Ⅰ）。

（Ⅲ）同法一。