Question

已知F₁、F₂是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦點，A（0，b），連接AF₁并延長交橢圓C于B點，若

AF1

=

3

2

F1B

，

AB

•

AF2

=5，
（1）求橢圓C的方程；
（2）設P是直線x=5上的一點，直線PF₂交橢圓C于D、E兩點，是否存在這樣的點P，使得

AD

⊥

AE

？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設出B點的坐標，寫出所用向量的坐標，利用

AF1

=

3

2

F1B

列式求出B的坐標（用含有b，c的代數式表示），然后分別用B在橢圓上和

AB

•

AF2

=5列式聯立方程組求解a，b，c，則橢圓方程可求；
（2）假設存在點P，由題意設出DE所在直線方程，和橢圓方程聯立后化為關于x的一元二次方程，利用根與系數關系求出D，E兩點的橫坐標的和與積，把

AD

⊥

AE

轉化為坐標運算，代入根與系數關系后求出k的值，
求出直線方程后驗證即可得到答案．

解答：解：（1）設B（x₀，y₀），又F₁（-c，0），A（0，b），F₂（c，0）．
∴

AF1

=(-c，-b)，

F1B

=(x0+c，y0)，

AF2

=(c，-b)．
∵

AF1

=

3

2

F1B

，∴(-c，-b)=

3

2

(x0+c，y0)，
∴

x0=- 5 3 c y0=- 2 3 b

，即B(-

5

3

c，-

2

3

b)，
則

AB

=(-

5

3

c，-

5

3

b)．
又點B在橢圓上，∴a²=5c²，
又

AB

•

AF2

=5，即(-

5

3

c，-

5

3

b)•(c，-b)=5，
∴b²-c²=3，又∵a²=b²+c²，∴a=

5

，b=2，c=1．
∴橢圓C的方程為

x2

5

+

y2

4

=1；
（2）假設存在點P，由題意知直線DE的斜率一定存在，設為k，
則DE的方程為y=k（x-1），又設D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
由

y=k(x-1) 4x2+5y2=20

⇒(4+5k2)x2-10k2x+5k2-20=0
⇒x1+x2=

10k2

4+5k2

，x1x2=

5k2-20

4+5k2

．
∵

AD

⊥

AE

，∴

AD

•

AE

=0，
∴x₁x₂+（y₁-2）（y₂-2）=0，x₁x₂+（kx₁-k-2）（kx₂-k-2）=0．
即(k2+1)x1x2-k(k+2)(x1+x2)+(k+2)2=0，代入得

(k2+1)(5k2-20)-k(k+2)•10k2+(k+2)2(4+5k2)

4+5k2

=0
化簡，得

9k2+16k-4

4+5k2

=0，解得k=-2或k=

2

9

．
當k=-2時，直線DE的方程為y=-2x+2，由于直線DE過點A，不合題意．
當k=

2

9

時，直線DE的方程為y=

2

9

x-

2

9

，與x=5聯立，求得點P(5，

8

9

)．
因此存在點P(5，

8

9

)滿足題意．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關系的應用，直線與曲線聯立，利用方程的根與系數的關系是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求考生具備較強的運算推理的能力，是難題．