Question

10、若函數f（x）=x³-3a²x+1的圖象與直線y=3只有一個公共點，則實數a的取值范圍為（　　）

A、（-∞，+∞）

B、（-∞，1）

C、（-1，+∞）

D、（-1，1）

Answer 1

分析：要使函數f（x）=x³-3a²x+1的圖象與直線y=3只有一個公共點，只需利用函數的最大值或最小值與3進行比較，由于實數a的值不確定，故要分類討論．

解答：解：求一階導數可得f'（x）=3x²-3a²，兩個極值點分別在x=a、x=-a，代入函數，得f（a）=-2a³+1，f（-a）=2a³+1，
當a＞0時，f（a）＞3或f（-a）＜3，得出a＜1，
當a＜0時，f（a）＜3或f（-a）＞3，得出a＞-1，
當a=0時，顯然成立；
則答案為：-1＜a＜1，
故選D．

點評：本題主要考查函數的單調性、極值以及函數導數的應用，考查運用數學知識分析問題解決問題的能力．