Question

已知向量=（cos（-θ），sin（-θ）），=．
（1）求證：．
（2）若存在不等于0的實數k和t，使=+（t²+3），=（-k+t），滿足，試求此時的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用向量的數量積公式求出，利用三角函數的誘導公式化簡得數量積為0，利用向量垂直的充要條件得證．
（2）利用向量垂直的充要條件列出方程，利用向量的運算律化簡方程，將方程中的k用t表示，代入，利用二次函數最值的求法求出最小值．
解答：解：（1）證明∵=cos（-θ）•cos（-θ）+sin（-θ）•sin=sinθcosθ-sinθcosθ=0．
∴．
（2）解由得=0，
即[+（t²+3）]•（-k+t）=0，
∴-k+（t³+3t）+[t²-k（t+3）]=0，
∴-k+（t³+3t）=0．
又=1，=1，
∴-k+t³+3t=0，
∴k=t³+3t．
∴==t²+t+3=2+．
故當t=-時，有最小值．
點評：本題考查向量垂直的充要條件、向量的運算律、二次函數最值的求法．