Question

17．點O在△ABC內部，且滿足4$\overrightarrow{OA}$+5$\overrightarrow{OB}$+6$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，則△ABC的面積與△ABO、△ACO面積之和的比為15：11 

Answer 1

分析 可作$5\overrightarrow{OD}=6\overrightarrow{OC}$，從而可得到$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=-\frac{4}{5}\overrightarrow{OA}$，然后以OA，OD為鄰邊作平行四邊形OAED，并連接OE，設交BC于點N，這樣畫出圖形，根據三角形的相似便可得出$\frac{ON}{NE}=\frac{5}{6}$，進而便可求出$\frac{AN}{ON}$的值，這樣即可求出$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△OBC}}$的值，從而得出△ABC的面積與△ABO、△ACO面積之和的比值．

解答 解：作$5\overrightarrow{OD}=6\overrightarrow{OC}$，則$5\overrightarrow{OB}+5\overrightarrow{OD}=-4\overrightarrow{OA}$；
∴$5（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}）=-4\overrightarrow{OA}$；
∴$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=-\frac{4}{5}\overrightarrow{OA}$；
以$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OD}$為鄰邊作平行四邊形OAED，連接OE，交BC于N，如圖所示：
$\overrightarrow{OE}=-\frac{4}{5}\overrightarrow{OA}$；
∴$OE=\frac{4}{5}OA$；
根據三角形相似得，$\frac{ON}{NE}=\frac{5}{6}$，$\frac{ON}{OE}=\frac{5}{11}$；
∴$\frac{ON}{OA}=\frac{4}{11}$；
∴$\frac{ON}{AN}=\frac{4}{15}$；
∴$\frac{AN}{ON}=\frac{15}{4}$；
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△OBC}}=\frac{15}{4}$；
∴△ABC的面積與△ABO、△ACO面積之和的比為15：11．
故答案為：15：11．

點評 考查向量數乘的幾何意義，向量的數乘運算，向量加法的平行四邊形法則，三角形相似的概念，以及三角形的面積公式．