Question

【題目】以直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立坐標系，兩個坐標系取相同的單位長度．已知直線的參數方程為，曲線的極坐標方程為

（1）求曲線的直角坐標方程

（2）設直線與曲線相交于兩點，時，求的值．

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x；（2）45°或135°.

【解析】

（1）由曲線C的極坐標方程為ρsin2θ＝4cosθ，兩邊同乘ρ結合，即可；

（2）由直線的參數方程觀察得直線過定點(1,0)，用點斜式設直線方程聯立曲線C方程，用弦長公式求出弦長，列方程求出直線斜率，然后解出.

（1）∵曲線C的極坐標方程為ρsin2θ＝4cosθ，

∴ρ2sin2θ＝4ρcosθ，

∵ρsinθ＝y，ρcosθ＝x，

∴曲線C的直角坐標方程為y2＝4x．

（2）∵直線l的參數方程為參數，0＜a＜π），

∴tanα＝，直線過（1，0），

設l的方程為y＝k（x﹣1），

代入曲線C：y2＝4x，消去y，

得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），

則 ，x1x2＝1，

∵|AB|＝8．

∴＝8，

解得k＝±1，

當k＝1時，α＝45°；

當k＝﹣1時，α＝135°．

∴α的值為45°或135°．