Question

四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側面PAB為正三角形，AB=2，BC=，E為AB的中點．
（1）證明：PE⊥平面ABCD；　 （2）求二面角A-PD-B的大小．

Answer 1

證明：（1）設BD與CE交于點O
tan∠BDC=tan∠BCE=
∴∠OBC+∠OCB=90°
∴∠BOC=90°
∴BD⊥CD
又∵PC⊥BD，PC∩CE=C
∴BD⊥平面PCE
∴BD⊥PE
又∵側面PAB為正三角形，E為AB的中點．
∴PE⊥AB
∴PE⊥平面ABCD；
解：（2）由（1）中，PE⊥平面ABCD
∴平面PAB⊥平面ABCD
又∵AD⊥AB
∴平面PAB⊥平面PAD
設F為PA的中點，連接BF，則BF⊥PA
∴BF⊥平面PAD，
過F作FG⊥PD，連接BG
則BG⊥PD
即∠BGF為二面角A-PD-B的平面角
在△PFG及△BGF中
FG=PF•sin∠APD=1×=
∴tan∠BGF==3
∴二面角A-PD-B的大小為arctan3
分析：（1）設BD與CE交于點O，由已知中底面ABCD為矩形，AB=2，BC=，由勾股定理可得BD⊥CD，又由已知中PC⊥BD，由線面垂直的判定定理可得BD⊥平面PCE，進而BD⊥PE，又由E為AB的中點，側面PAB為正三角形，由等腰三角形三線合一可得PE⊥AB，結合線面垂直的判定定理可得PE⊥平面ABCD；
（2）設F為PA的中點，連接BF，根據二面角的定義，可得∠BGF為二面角A-PD-B的平面角，解△PFG及△BGF，即可得到二面角A-PD-B的大小．
點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面垂直的判定，其中（1）的關鍵是熟練掌握線面垂直的判定定理和性質定理，（2）的關鍵是找到二面角A-PD-B的平面角∠BGF．