Question

分別求下列函數的值域：
（1）y=；
（2）y=-x²+2x（x∈[0，3]）；
（3）y=x+；
（4）y=．

Answer 1

解：（1）用分離變量法將原函數變形為：y==2+．
∵x≠3，∴≠0．
∴y≠2，即函數值域為{y|y∈R且y≠2}．
（2）用配方法將原函數變形為：y=-（x-1）²+1，根據二次函數的性質，
在區間[0，3]上，當x=1時，函數取最大值1，當x=3時，函數取最小值是-3，
則原函數的值域是[-3，1]．
（3）由1-x²≥0，得-1≤x≤1，設x=cosθ（θ∈[0，π]），
則y=sinθ+cosθ=sin（θ+），
由正弦函數曲線易知，當θ=時，y取最大值為，當θ=π時，y取最小值為-1，
∴原函數的值域是[-1，]．
（4）分離常數法將原函數變形為：
y=
∵1+2^x＞1，∴0＜＜2，
∴-1＜-1+＜1，
∴所求值域為（-1，1）
分析：（1）用分離變量法將原函數變形，再根據分母不為零，求函數的值域；
（2）用配方法將原函數變形，再根據開口方向和對稱軸的大小，求出在區間上的最值，在表示出值域；
（3）先求函數定義域[-1，1]，故設x=cosθ（θ∈[0，π]），代入原函數利用兩角的和差公式進行化簡，再利用正弦函數的曲線求出最值，即求出值域；
（4）用分離變量法將原函數變形，利用2^x＞0求原函數的值域．
點評：本題考查了求函數值域的方法，即分離常數法，配方法和換元法等，注意每種方法適用的類型．