Question

已知數列{a_n}滿足an+1=

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an+2
（1）若a₁=7，證明數列{a_n-6}為等比數列，并求{a_n}的通項公式；
（2）若{a_n}為等差數列，求{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）由an+1=

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an+2，得an+1-6=(

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an+2)-6=

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(an-6)，由此可判斷{a_n-6}為等比數列，易求a_n-6，進而可得a_n；
（2）設{a_n}的公差為d，由an+1=

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an+2，得an=

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an-1+2，兩式相減可得an+1-an=

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(an-an-1)，由等差數列的性質可求得公差d，進而可得結果；

解答：解：（1）∵an+1-6=(

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an+2)-6=

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(an-6)，
又a₁-6=7-6=1，∴{a_n-6}是以1為首項，

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為公比的等比數列．
∴an-6=(a1-6)(

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)n-1=(

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)n-1，
∴an=(

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)n-1+6；
（2）設{a_n}的公差為d，由an+1=

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an+2，得an=

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an-1+2，
兩式相減得an+1-an=

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(an-an-1)，即d=

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d∴d=0，
∴an+1=an=

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an+2，得a_n=6．

點評：本題考查由數列遞推式求數列通項、等差數列等比數列關系的確定，屬中檔題．