Question

（2012•浦東新區三模）已知中心在原點，頂點A₁、A₂在x軸上，其漸近線方程是y=±

2 3

3

x，雙曲線過點P（6，6）．
（1）求雙曲線方程
（2）動直線l經過△A₁PA₂的重心G，與雙曲線交于不同的兩點M、N，問是否存在直線l，使G平分線段MN，證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）設出雙曲線方程，利用漸近線方程是y=±

2 3

3

x，雙曲線過點P（6，6），建立方程組，求出幾何量，即可得到雙曲線的方程；
（2）利用點差法，結合韋達定理求出直線方程，利用判別式進行驗證，即可得到結論．

解答：解：（1）如圖，設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1…（1分）
由已知漸近線方程是y=±

2 3

3

x，雙曲線過點P（6，6），得

62 a2 - 62 b2 =1 b a = 2 3 3

…（3分）
解得

a2=9 b2=12

…（5分）
所以所求雙曲線方程為

x2

9

-

y2

12

=1 …（6分）
（2）P、A₁、A₂的坐標依次為（6，6）、（3，0）、（-3，0），
∴其重心G的坐標為（2，2）…（8分）
假設存在直線l，使G（2，2）平分線段MN，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）  則有x₁+x₂=4，y₁+y₂=4
∵

x12

9

-

y12

12

=1，

x22

9

-

y22

12

=1
∴兩式相減可得

y1-y2

x1-x2

=

4

3

，∴k_l=

4

3

…（10分）
∴l的方程為y=

4

3

（x-2）+2（12分）
代入橢圓方程，消去y，整理得x²-4x+28=0 
∵△=16-4×28＜0，∴所求直線l不存在 …（14分）

點評：本題考查雙曲線的標準方程，考查點差法的運用，考查學生方程解決問題的能力，正確運用點差法是關鍵．