Question

（本題滿分12分）

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，動點P在棱A₁B₁上，

（Ⅰ）求證：PD⊥AD₁；

（Ⅱ）求CP與平面D₁DCC₁所成角的取值范圍；

（Ⅲ）當A₁P=A₁B₁時，求二面角C—DP—D的正切值。.

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：連結A₁D，在正方體AC₁中，∵A₁B₁⊥平面A₁ADD_1，

∴A₁D是PD在平面A₁ADD₁內的射影. …………………………………… 2分

∵在正方形A₁ADD₁中，A₁D⊥AD₁，∴PD⊥AD_1.  ……………………… 4分

（Ⅱ）設B₁P=x，過P作PH⊥C₁D₁于H，連CH，則∠PCH為CP與平面D₁DCC₁所成角

為減函數，

∴

又tanx在上為增函數   

…………6分

（Ⅲ）當時，取AB中點Q，連PQ、DQ，DD₁∥QP， D₁DQP共面

作CE⊥DQ于E，由正方體知CE⊥平面D₁DQP，作EF⊥DP于F，連FC則∠CFE為二面角C—DP—D₁的補角

在Rt△CFE中，

∴∠CFE=arctan3

∴二面角C—DP—D₁的大小為π－arctan3……………………12分