Question

（1）求以（2，-1）為圓心且與直線x+y=5相切的圓C的方程；
（2）求過點P（1，1）的直線l被圓C截得的弦長的最短長度及此時的直線方程．

Answer 1

分析：（1）利用點到直線的距離 公式求出圓心到直線的距離，即為圓的半徑，寫出圓的標準方程即可；
（2）根據題意得到CP垂直于直線l時，弦長最短，利用兩點間的距離公式求出|CP|的長，再利用垂徑定理及勾股定理求出弦長；求出此時直線CP的斜率，確定出直線l方程即可．

解答：解：（1）∵圓心（2，-1），r=d=

|2-1-5|

2

=2

2

，
∴圓C方程為（x-2）²+（y+1）²=8；
（2）當CP⊥l時，弦長最短，
此時弦長=2

r2-|CP|2

=2

8-[(2-1)2+(-1-1)2]

=2

3

，
∵k_CP=

-1-1

2-1

=-2，∴k_l=

1

2

，
則直線l方程為y-1=

1

2

（x-1），即x-2y+1=0．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：點到直線的距離公式，圓的標準方程，兩點間的距離公式，垂徑定理，勾股定理，以及兩直線垂直時斜率滿足的關系，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．