Question

（本小題滿分12分）

在如圖所示的幾何體中，平面，∥，是的中點，

，，．

（Ⅰ）證明 平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

   圖7

 

Answer 1

【答案】

略

【解析】解法一（Ⅰ）取的中點，連結、．

因為∥，∥，所以∥．

又因為，，所以．

所以四邊形是平行四邊形，∥．                    ……分

在等腰中，是的中點，所以．

因為平面，平面，所以．

而，所以平面．

又因為∥，所以平面．                        ……分

（Ⅱ）因為平面，平面，所以平面平面．

過點作于，則平面，所以．

過點作于，連結，則平面，所以．

所以是二面角的平面角．                                      ……分

在中，．

因為，所以是等邊三角形．又，所以

 ，．

在中，．

所以二面角的余弦值是．                                              ……分

解法二  （Ⅰ）因為平面，∥，所以平面．

故以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則

相關各點的坐標分別是，，，

，，．         ……分                   

所以，，．

因為，，

所以，．而，所以平面． ……分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，．

設是平面的一個法向量，由 得

即．取，則．

設是平面的一個法向量，由 得

即．取，，則．

                                                                                                           ……分

設二面角的大小為，則

．                             

故二面角的余弦值是．       ……分