Question

在△ABC中，已知A=45°，cosB=

4

5

．
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若BC=10，D為AB的中點，求CD的長．

Answer 1

分析：（I）利用三角函數的平方故選求出角B的正弦；利用三角形的內角和為180°將角C用角B表示；利用兩角差的余弦公式
求出cosC．
（II）利用三角函數的平方關系求出角C的正弦；利用三角函數的正弦定理求出邊AB的長；利用三角形的余弦定理求出CD的長

解答：解：（Ⅰ）∵cosB=

4

5

，且B∈（0°，180°），∴sinB=

1-cos2B

=

3

5

．（2分）
cosC=cos（180°-A-B）=cos（135°-B）（3分）
=cos135°cosB+sin135°sinB=-

2

2

•

4

5

+

2

2

•

3

5

=-

2

10

．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinC=

1-cos2C

=

1-(- 2 10 )2

=

7

10

2

（8分）
由正弦定理得

BC

sinA

=

AB

sinC

，即

10

2 2

=

AB

7 10 2

，解得AB=14．（10分）
在△BCD中，BD=7，CD2=72+102-2×7×10×

4

5

=37，
所以CD=

37

．（12分）

點評：本題考查三角函數的平方關系、考查兩角和的余弦公式、考查三角形中的正弦定理、余弦定理．