Question

偶函數f(x)的定義域為R，若f(x－1)＝f(x＋1)對一切x∈R恒成立，又當0≤x≤1時，f(x)＝－x²＋4．

①求證f(x)是周期函數，并確定它的周期；

②求當1≤x≤2時，f(x)的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

①證明：∵f(x)定義域為R且f(x－1)＝f(x＋1)， 　　∴f(x＋2)＝f(x＋1＋1)＝f(x＋1－1)＝f(x)． 　　則f(x)的一個周期為2，且2n(n∈Z，n≠0)都是y＝f(x)的周期． 　　②解：設1≤x≤2，則－2≤－x≤－1， 　　因此，0≤2－x≤1， 　　由已知有：f(2－x)＝－(2－x)2＋4， 　　∵f(x)的周期為2，且為偶函數， 　　∴f(2－x)＝f(－x)＝f(x)． 　　∴當1≤x≤2時，f(x)＝－(2－x)2＋4．