Question

【題目】已知f（x）=sinx﹣cosx，x∈[0，+∞）．
（1）證明： ；
（2）證明：當a≥1時，f（x）≤eax﹣2．

Answer 1

【答案】
（1）解：不等式 ，即不等式 ，

設 ，則g'（x）=﹣sinx+x，x∈[0，+∞），

再次構造函數h（x）=﹣sinx+x，則h'（x）=﹣cosx+1≥0在x∈[0，+∞）時恒成立，

所以函數h（x）在[0，+∞）上單調遞增，

所以h（x）≥h（0）=0，

所以g'（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，

所以函數g（x）在[0，+∞）上單調遞增，

所以g（x）≥g（0）=0，

所以 ，

所以 ，即 成立

（2）解：由（1）的解析可知，當x∈[0，+∞）時，sinx≤x且 ，

所以 ，

當 對x∈[0，+∞）恒成立時，不等式f（x）≤eax﹣2恒成立，

不等式 ，即不等式 ，對x∈[0，+∞）恒成立，

構造函數 ，

則M'（x）=ex﹣x﹣1，

令m（x）=ex﹣x﹣1，

則m'（x）=ex﹣1，當x∈[0，+∞）時，m'（x）≥0，

故m（x）在[0，+∞）上單調遞增，

所以m（x）≥m（0）=0，故M'（x）≥0，即M（x）在[0，+∞）上單調遞增，

所以M（x）≥M（0）=0，

故 恒成立，

故當a≥1時， ，

即當a≥1時，不等式f（x）≤eax﹣2恒成立

【解析】（1）設 ，則g'（x）=﹣sinx+x，x∈[0，+∞），再次構造函數h（x）=﹣sinx+x，則h'（x）=﹣cosx+1≥0在x∈[0，+∞）時恒成立，可得g'（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，可得 ，即可得證．（2）由（1）可知，不等式 ，對x∈[0，+∞）恒成立，構造函數 ，令m（x）=ex﹣x﹣1，則m'（x）=ex﹣1，當x∈[0，+∞）時，m'（x）≥0，可得 恒成立，從而得證，當a≥1時，不等式f（x）≤eax﹣2恒成立．