Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為邊長為4的正方形，E（2，2，0），E為PB中點，PB=4

2

．
（1）求證：PD∥面ACE．
（2）求三棱錐E-ABC的體積．

Answer 1

分析：（1）通過作平行線的方法，由線線平行證明線面平行即可；
（2）根據E的坐標判斷線面垂直，再求得PA長，利用三棱錐的換底性求體積即可．

解答：解：（1）證明：因為E為PC的中點，連接BD，交AC于F，連接EF．
∵四邊形ABCD為正方形∴F為BD的中點∴EF∥PD
又∵PD?面ACE，EF?面ACE，
∴PD∥面ACE．
（2）∵E是PB的中點，E的坐標為（2，2，0），∴BC⊥平面PAB，PA⊥平面ABCD．
又AB?平面ABCD，∴PA⊥AB
在RT△PAB中，PB=4

2

，AB=4，∴PA=AB=4∵E為PC的中點，
V_E-ABC=V_C-ABE=

1

3

S_△ABE•BC=

1

3

×

1

2

×S_△PAB×BC=

1

3

×

1

2

×

1

2

×4×4×4=

16

3

．

點評：本題考查線面平行的判定及三棱錐的體積．可利用三棱錐的換底性求體積．