Question

如圖，在多面體ABCDE中，底面△ABC為等腰直角三角形，且∠ACB=90°，側面BCDE是菱形，O點是BC的中點，EO⊥平面ABC．
（1）求異直線AC和BE所成角的大小；
（2）求平面ABE與平面ADE所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中∠ACB=90°，EO⊥平面ABC易得EO⊥AC，AC⊥BC，由線面垂直的判定定理可得AC⊥平面BCDE，進而由線面垂直的性質得AC⊥BE，可求異直線AC和BE所成角的大小；
（2）連接BD，CE，由線面垂直的判定定理和性質可得BD⊥AE，過B作BH⊥AE于H，連接DH，可得∠BHD為二面角B-AE-D的平面角，解三角形BDH，即可得到平面ABE與平面ADE所成銳二面角的余弦值．

解答：解：（1）∵EO⊥平面ABC，AC?平面ABC
∴EO⊥AC
又∵∠ACB=90°
∴AC⊥BC，BC∩OE=O
∴AC⊥平面BCDE…2分
∵BE?平面BCDE
∴AC⊥BE
∴異直線AC和BE所成角為90°…4分
（2）連接BD，CE，側面BCDE是菱形，則BD⊥CE
∵AC⊥平面BCDE
∴AC⊥BD
∴BD⊥平面ACE
∴BD⊥AE
過B作BH⊥AE于H，連接DH，則AE⊥平面BHD
∴DH⊥AE，∠BHD為二面角B-AE-D的平面角…6分
設BC=2，則BC=CA=BE=2，AB=2

2

∵EO⊥BC，BO=CO=1
∴∠EBC=60°，∠BCD=120°
∴BD=2

3

，CE=2，
在直角△ACE中，得，AE=2

2

，在△BE中，易得BH=

14

2

…8分
∴△BHE≌△DHE，
∴DH=BH=

14

2

…9分
在△BHD中，由余弦定理得cos∠BHD=-

5

7

…11分
即平面ABE與平面ADE所成銳二面角的余弦值為

5

7

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，異面直線及其所成的角，其中根據異面直線夾角和二面角的定義，先找出它們的平面角，將問題轉化為解三角形問題，是解答此類問題的關鍵．