Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，試探究函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；

（2）證明：方程在上有且僅有兩解.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞減.（2）見解析

【解析】

（1）對(duì)求導(dǎo)，，再對(duì)求導(dǎo)，可得遞減區(qū)間，可得的取值范圍，可得函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；

（2）令，因?yàn)?/span>，可令，對(duì)其求導(dǎo)，可得的單調(diào)性和零點(diǎn)，記正零點(diǎn)為，可得的性質(zhì)及的表達(dá)式，將滿足的條件代入，綜合分析可得證明.

解：（1）依題意，，由，

故函數(shù)的遞減區(qū)間為；而當(dāng)時(shí)，

故若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

函數(shù)在區(qū)間上也是單調(diào)遞減.

（2）令，

因?yàn)?/span>，由得，

令，則，

因?yàn)?/span>，且，所以必有兩個(gè)異號(hào)的零點(diǎn)，記正零點(diǎn)為，

則時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增，若在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則，

由得，

所以，又因?yàn)?/span>的對(duì)稱軸為，

所以，

所以，所以，

又，

設(shè)中的較大數(shù)為，則，

故當(dāng)時(shí)，方程在上有且僅有兩解.