Question

已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點為F（1，0），點P是點F關于y軸的對稱點，過點P的直線交拋物線于A，B兩點．
（1）試問在x軸上是否存在不同于點P的一點T，使得TA，TB與x軸所在的直線所成的銳角相等，若存在，求出定點T的坐標，若不存在說明理由．
（2）若△AOB的面積為

5

2

，求向量

OA

，

OB

的夾角．

Answer 1

分析：（1）由題意知：拋物線方程為：y²=4x且P（-1，0）．設直線l的方程為x=my-1，將拋物線C的方程y²=4x與直線l的方程聯立，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達定理求得k_AT+k_BT，設點T（t，0）存在，由TA，TB與x軸所成的銳角相等可得k_TA+k_TB=0，利用韋達定理，即可求得a=1．
（2）根據三角形的面積公式得S_△ABC=

1

2

|OF||y₁-y₂|=

1

2

|y₁-y₂|=

5

2

，從而有|y₁-y₂|=5，再設直線OA，OB的傾斜角分別為α，β，∠AOB=θ，利用斜率公式得出k_OA和k_OB，設θ=|α-β|，再利用夾角公式，即可求出答案．

解答：解：（1）由題意知：拋物線方程為：y²=4x且P（-1，0）-------（1分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設直線l的方程為x=my-1，代入y²=4x得
y²-4my+4=0，△=16m²-16＞0，得m²＞1，

y1+y2=4m y1y2=4

--------（2分）
假設存在T（a，0）滿足題意，則k_AT+k_BT=

y1

x1-a

+

y2

x2-a

=

2my1y2-(1+a)(y1-y2)

(x1-a)(x2-a)

=

8m-4m(1+a)

(x1-a)(x2-a)

=0．∴8m-4m（1+a）=0，
∴a=1，∴存在T（1，0）----------------（6分）
（2）S_△ABC=

1

2

|OF||y₁-y₂|=

1

2

|y₁-y₂|=

5

2

∴|y₁-y₂|=5----------------（7分）
設直線OA，OB的傾斜角分別為α，β，∠AOB=θ
k_OA=

y1

x1

=

y1

y 2 1 4

=

4

y1

=tanα，k_OB=

4

y2

=tanβ--------（9分）
設θ=|α-β|，
∴tanθ=|tan（α-β）|=|

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

|=|

4 y1 - 4 y2

1+ 16 y1y2

|=

|y1-y2|

5

=1------（11分）
∴θ=

π

4

----------------------（12分）

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，著重考查曲線方程的聯立，韋達定理的使用，斜率公式的應用，突出考查化歸思想與方程思想，屬于難題．