Question

（2013•煙臺一模）已知函數f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

，x∈R．
（1）求函數f（x）的最小值，及取最小值時x的值；
（2）設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c且c=

3

，f（C）=0，若sinB=2sinA，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）函數解析式第二項利用二倍角的余弦函數公式化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，根據正弦函數的圖象求出函數f（x）的最小值，以及此時x的值即可；
（2）由f（C）=0以及（1）得出的f（x）解析式，根據C的范圍，求出這個角的范圍，利用特殊角的三角函數值求出C的度數，利用正弦定理化簡sinB=2sinA，得到b=2a；再利用余弦定理列出關于a與b的方程，兩方程聯立即可求出a與b的值．

解答：解：（1）f（x）=

3

2

sin2x-

1

2

（1+cos2x）-

1

2

=sin（2x-

π

6

）-1，
∴f（x）的最小值為-2，當且僅當x=kπ-

π

6

，k∈Z；
（2）f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，即sin（2C-

π

6

）=1，
∵0＜C＜π，∴-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11π

6

，
∴2C-

π

6

=

π

2

，即C=

π

3

，
∵sinB=2sinA，∴由正弦定理得：b=2a①，
則由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcos

π

3

，即a²+b²-ab=3②，
聯立①②，解得：a=1，b=2．

點評：此題考查了二倍角的余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，正弦、余弦定理，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．