Question

設f（x）=（x+1）ⁿ（其中n∈N₊）．
（1）若f（x）=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ，求a₀及S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n；
（2）當n=2013，計算：

C

1 2013

-2

C

2 2013

+…+k

C

k 2013

（-1）^k-1+…+2013

C

2013 2013

（-1）²⁰¹²．

Answer 1

分析：（1）取x=1，可求得a₀，再取x=2，可求得S_n；
（2）對（1+x）²⁰¹³的展開式，等號兩端同時求導，再對x賦值-1即可求得答案．

解答：解：（1）取x=1，則a₀=2ⁿ；         …（2分）
取x=2，則a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n=3ⁿ，…（4分）
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=3ⁿ-2ⁿ．…（6分）
（2）由（1+x）²⁰¹³=

C

0 2013

+

C

1 2013

x+

C

2 2013

x²+…+

C

k 2013

x^k+…+

C

2013 2013

x²⁰¹³，…（8分）
兩端求導得：
2013（1+x）²⁰¹²=

C

1 2013

+2

C

2 2013

x+…+k

C

k 2013

•x^k-1+…+2013

C

2013 2013

•x²⁰¹²…（12分）
令x=-1，得：

C

1 2013

-2

C

2 2013

+…+k

C

k 2013

•（-1）^k-1+…+2013

C

2013 2013

•（-1）²⁰¹²=0…（16分）

點評：本題考查二項式定理的應用，考查二項式系數的性質，（2）中對（1+x）²⁰¹³=

C

0 2013

+

C

1 2013

x+

C

2 2013

x²+…+

C

k 2013

x^k+…+

C

2013 2013

x²⁰¹³兩端求導是關鍵，也是難點，考查觀察、分析與運算能力，屬于中檔題．