Question

(21)

已知m∈R,設

P：    x₁和x₂是方程x²-ax-2=0的兩個實根,不等式|m²-5m-3|≥|x₁-x₂|對任意實數a∈[-1,1]恒成立；

Q：   函數f(x)=x³+mx²+(m+)x+6在（-∞，+∞）上有極值。

求使P正確且Q正確的m的取值范圍。

Answer 1

（21）本小題主要考查集合的運算。絕對值不等式、應用導數研究函數的單調性及極值等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力。

解：（1）由題設x₁和x₂是方程x²-ax-2=0的兩個實根，得

x₁+x₂=a且x₁x₂=-2，

所以，|x₁-x₂|=.

當a∈[-1，1]時，a²+8的最大值為9，即

|x₁-x₂|≤3.

由題意，不等式|m²-5m-3|≥|x₁-x₂|對任意實數a∈[-1，1]恒成立的m的解集等于不等式

|m²-5m-3|≥3

的解集。由此不等式得

m²-5m-3≤-3，                                   ①

或          m²-5m-3≥3.                          ②

不等式①的解為0≤m≤5.

不等式②的解為m≤-1或m≥6.

因此，當m≤-1或0≤m≤5或m≥6時，P是正確的。

（2）對函數f（x）=x²+mx²+（m+）x+6求導

f′（x）=3x²+2mx+m+。

令f′（x）=0，即3x²+2mx+m+=0。此一元二次方程的判別式

△=4m²-12（m+）=4m²-12m-16.

若△=0，則f′（x）=0有兩個相等的實根x₀，f′（x）的符號如下：

x	（-∞，x0）	x0	（x0，+∞）
f′（x）	+	0	+

因此，f（x₀）不是函數f（x）的極值

若△>0，則f′（x）=0有兩個不相等的實根x₁和x₂（x₁＜x₂），且f′（x）的符號如下：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+

因此，函數f（x）在x=x₁處取得極大值，在x=x₂處取得極小值。

綜上所述，當且僅當△>0時，函數f（x）在（-∞，+∞）上有極值。

由△=4m²-12m-16>0得

m<-1或m>4，

因此，當m<-1或m>4時，Q是正確的。

綜上，使P正確且Q正確時，實數m的取值范圍為

（-∞，-1）∪（4，5]∪[6，+∞）