Question

如圖，α和β為平面，α∩β=l，A∈α，B∈β，AB=5，A，B在棱l上的射影分別為A′，B′，AA′=3，BB′=2。若二面角α-l-β的大小為，
求：（Ⅰ）點B到平面α的距離；
（Ⅱ）異面直線l與AB所成的角（用反三角函數表示）。

Answer 1

解：（1）如圖，過點B′作直線B′C∥A′A且使B′C=A′A，
過點B作BD⊥CB′，交CB′的延長線于D，
由已知AA′⊥l，可得DB′⊥l，
又已知BB′⊥l，故l⊥平面BB′D，得BD⊥l，
又因BD⊥CB′，
從而BD⊥平面α，
BD之長即為點B到平面α的距離，
因B′C⊥l且BB′⊥l，
故∠BB′C為二面角α-l-β的平面角，
由題意，∠BB′C=，
因此在Rt△BB′D中，BB′=2，∠BB′D=π-∠BB′C=，
BD=BB′·sin∠BB′D=；
（Ⅱ）連接AC、BC，
因B′C∥A′A，B′C=A′A，AA′⊥l，知A′ACB′為矩形，
故AC∥l，
所以∠BAC或其補角為異面直線l與AB所成的角，
在△BB′C中，B′B=2，B′C=3，∠BB′C=，
則由余弦定理，
BC=，
因BD⊥平面α，且DC⊥CA，
由三垂線定理知AC⊥BC，
故在△ABC中，∠BCA=，
sin∠BAC=，
因此，異面直線l與AB所成的角為arcsin。