Question

某單位為綠化環境，移栽了甲、乙兩種大樹各2株．設甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為和，且各株大樹是否成活互不影響．求移栽的4株大樹中：
（1）兩種大樹各成活1株的概率；
（2）成活的株數ξ的分布列與期望．

Answer 1

【答案】分析：（1）甲兩株中活一株符合獨立重復試驗，概率為，同理可算乙兩株中活一株的概率，兩值相乘即可．
（2）ξ的所有可能值為0，1，2，3，4，分別求其概率，列出分布列，再求期望即可．
解答：解：設A_k表示甲種大樹成活k株，k=0，1，2
B_l表示乙種大樹成活1株，1=0，1，2
則A_k，B_l獨立．由獨立重復試驗中事件發生的概率公式有
P（A_k）=C₂^k（）^k（）^2-k，P（B_l）=C₂¹（）^l（）^2-l．
據此算得P（A）=，P（A₁）=，P（A₂）=．
P（B）=，P（B₁）=，P（B₂）=．
（1）所求概率為P（A₂•B₂）=P（A₁）•P（B₁）=×=．
（2）解法一：ξ的所有可能值為0，1，2，3，4，且
P（ξ=0）=P（A•B）=P（A）•P（B）=×=，
P（ξ=1）=P（A•B₁）+P（A₁•B）=×+×=，
P（ξ=2）=P（A•B₂）+P（A₁•B₁）+P（A₂•B）=×+×+×=，
P（ξ=3）=P（A₁•B₂）+P（A₂•B₁）=×+×=．
P（ξ=4）=P（A₂•B₂）=×=．
綜上知ξ有分布列

從而，ξ的期望為
Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=（株）．
解法二：分布列的求法同上，令ξ₁，ξ₂分別表示甲乙兩種樹成活的株數，則
ξ₁：B（2，），ξ₂：B（2，）
故有Eξ₁=2×=，Eξ₂=2×=1
從而知Eξ=Eξ₁+Eξ₂=．
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列、期望、獨立重復試驗的概率等知識，以及利用概率知識分析問題、解決問題的能力．