Question

小王參加2012年度某項勞動技能考試．考試按科目A，B依次進行，只有科目A合格后才能繼續參加科目B的考試．每個科目本年度只有一次補考機會，只有兩個科目都合格才能獲得該項勞動技能合格證．已知他每次參加科目A考試合格的概率均為

1

2

，每次參加科目B考試合格的概率均為

2

3

，且各次考試是否合格互不影響．
（1）求小王不用補考就順利獲得2012年度該項勞動技能合格證的概率；
（2）記小王參加2012年度該項勞動技能考試的次數為ξ（含可能的補考次數），求隨機變量ξ的分布列．

Answer 1

分析：（1）利用相互獨立事件的概率公式，可求小王不用補考就順利獲得2012年度該項勞動技能合格證的概率；
（2）確定隨機變量ξ的可能取值，求出相應的概率，即可求隨機變量ξ的分布列．

解答：解：（1）設小王參加科目A考試合格與補考合格分別為事件A₁，A₂，參加科目B考試合格與補考合格分別為事件B₁，B₂．
由已知，P(A1)=P(A2)=

1

2

，P(B1)=P(B2)=

2

3

．           …（2分）
又A₁，B₁相互獨立，所以P（“小王不用補考就順利獲得2012年度該項勞動技能合格證”）=P（A₁B₁）=P(A1)P(B1)=

1

2

×

2

3

=

1

3

．                            …（5分）
故小王不用補考就順利獲得2012年度該項勞動技能合格證的概率為

1

3

． …（6分）
（2）隨機變量ξ的可能取值為2，3，4．                         …（7分）
則P(ξ=2)=P(A1B1+

.

A

1

.

A

2)=P(A1)P(B1)+P(

.

A

1)P(

.

A

2)=

1

2

×

2

3

+

1

2

×

1

2

=

7

12

，…（8分）

P(ξ=3)=P( . A 1A2B1+A1 . B 1B2+A1 . B 1 . B 2)=P( . A 1)P(A2)P(B1)+P(A1)P( . B 1)P(B2) +P(A1)P( . B 1)P( . B 2)= 1 2 × 1 2 × 2 3 + 1 2 × 1 3 × 2 3 + 1 2 × 1 3 × 1 3 = 1 3 …(10分)

P(ξ=4)=P(

.

A

1A2

.

B

1)=P(

.

A

1)P(A2)P(

.

B

1)=

1

2

×

1

2

×

1

3

=

1

12

…（11分）
所以隨機變量ξ的分布列為：

ξ	2	3	4
P	7 12	1 3	1 12

…（12分）

點評：本題考查概率知識的運用，考查離散型隨機變量的分布列，正確求概率是關鍵．