Question

在如圖所示的幾何體中，三條直線AE，AC，BC兩兩互相垂直，且AC=BC=BD=2AE，AE∥BD，M是線段AB的中點(diǎn)．
（1）求證：CM⊥EM；
（2）求直線EM與平面CDE所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）證明CM⊥EM，可先證明CM⊥平面ABE，只需證明CM⊥AB，AE⊥CM；
（2）設(shè)M在平面CDE的射影為H，令CH交DE于F，連接MF，EH．∠MEH為直線EM與平面CDE所成角，求出ME，MH，即可求得直線EM與平面CDE所成角的余弦值．

解答：（1）證明：因?yàn)镸是線段AB的中點(diǎn)，AC=BC
所以CM⊥AB，又AE，AC，BC兩兩互相垂直，
故AE⊥平面ABC，
因?yàn)镃M?平面ABC，
所以AE⊥CM
因?yàn)锳B∩AE=A
所以CM⊥平面ABE，
因?yàn)镋M?平面ABE，
故CM⊥EM．
（2）解：設(shè)M在平面CDE的射影為H，令CH交DE于F，連接MF，EH．∠MEH為直線EM與平面CDE所成角…6′
因?yàn)镃M⊥平面ABE，所以DE⊥MC，又DE⊥MH，MC∩MH=M
所以DE⊥平面MCF，故DE⊥MF，
令A(yù)E=a，M是線段AB的中點(diǎn)，AC=BC=BD=2a，AB=2

2

a
在直角梯形ABDE中可得：ME=

3

a，
DE=3a，MD=

6

a，∴∠EMD=90°
在△DME中可得：MF=

2

a
在△FMC中可得：MH=a，∴sin∠MEH=

MH

ME

=

3

3

直線EM與平面CDE所成角的余弦值為

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線線垂直，考查線面角，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用線面垂直的判定，正確作出線面角，屬于中檔題．