Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱AA₁⊥底面ABC，AB=AC=2a，AA1=t•a（t＞0，t∈R），∠BAC=120°，
（1）若在BC上存在點D，使DA₁⊥平面AB₁C₁，求實數t的值，并判斷D點的位置；
（2）在（1）成立的條件下，求二面角D-AC₁-B₁大小的余弦值．

Answer 1

分析：（1）可考慮用空間向量來解決立體幾何問題，若DA₁⊥平面AB₁C₁，則

A1D

垂直于平面AB₁C₁上兩個不共線向量．
先建立空間直角坐標系，把定點坐標表示出來，求出向量

A1D

的坐標，在平面AB₁C₁上，找兩個不共線的向量，求出坐標，再計算這兩個向量與

A1D

的數量積，讓數量積等于0，求D點坐標，若能求出，則ED點存在，否則，不存在．
（2）求二面角的大小，只需求這兩個平面的法向量夾角的大小，法向量的夾角，是這兩個平面所成角，或所成角的補角．

解答：解：（1）以A為原點，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸，Aa1所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，則
A（0，0，0），B（

3

a，-a，0）C（0，2a，0），A1（0，0，ta），B1（

3

a，-a，ta），C1（0，2a，ta）
令

BD

=λ

BC

，D（x，y，z），∴（x-

3

a，y+a，z）=λ（0-

3

a，2a+a，0）
∴

x=- 3 aλ+ 3 a y=3aλ- z=0

，∴D（-

3

aλ+

3

a，3aλ-a，0）

A1D

=（-

3

aλ+

3

a，3aλ-a，-ta），

AB1

=（

3

a，-a，ta），

AC1

=（0，2a，ta）

A1D • AB1 =(- 3 aλ+ 3 a，3aλ-a，-ta)，•(   3 a，-a，ta)=0 A1D • AC1 =(- 3 aλ+ 3 a，3aλ-a，-ta )• =0，2a，ta)=0

∴t=1，λ=

1

2

，D是BC的中點．
（2）平面DAC1的法向量為

n

=（1，-

3

，2

3

），平面DAC1的法向量為

m

=（

3

，1，-2）
cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n ||  m |

=

6

4

，∴二面角D-AC₁-B₁大小的余弦值w為

6

4

．

點評：本題考查了利用空間向量證明線面垂直，以及求二面角的大小的問題，屬于空間向量的應用．