Question

設集合W是滿足下列兩個條件的無窮數列的集合：①對任意，恒成立；②對任意，存在與n無關的常數M，使恒成立．

（1）若是等差數列，是其前n項和，且試探究數列與集合W之間的關系；

（2）設數列的通項公式為，且，求M的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）先根據條件，利用等差數列的性質得到的前n項和，然后檢驗其是否滿足①②條件即可；（2）由數列的通項公式經作差可知，當時，，此時，數列單調遞減，當時，，即，從而得到數列中的最大項為，由恒成立，從而知的取值范圍是.

試題解析：(1)設等差數列的公差是，則

 解得   1分

∴   (3分)

∴ 

∴，適合條件①

又，

∴當或時，取得最大值20，即，適合條件②．

綜上，    （6分）

（2）∵，

∴當時，，此時，數列單調遞減；   9分

當時，，即，   10分

因此，數列中的最大項是，   11分

∴，即M的取值范圍是．   12分

考點：1.新概念的理解；2.等差數列的性質；3.數列的單調性.