Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把是BC上的△ABD折起，使∠BDC=90°．
（Ⅰ）證明：平面ADB⊥平面BDC；
（Ⅱ）設BD=1，求三棱錐D-ABC的表面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）翻折后，直線AD與直線DC、DB都垂直，可得直線與平面BDC垂直，再結合AD是平面ADB內的直線，可得平面ADB與平面垂直；
（Ⅱ）根據圖形特征可得△ADB、△DBC、△ADC是全等的等腰直角三角形，△ABC是等邊三角形，利用三角形面積公式可得三棱錐D-ABC的表面積．

解答：解：（Ⅰ）∵折起前AD是BC邊上的高，
∴當△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，
又DB∩DC=D，
∴AD⊥平面BDC，
∵AD?平面ABD．
∴平面ADB⊥平面BDC
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DA⊥DB，DB⊥DC，DC⊥DA，
∵DB=DA=DC=1，∴AB=BC=CA=

2

，
從而S△ADB=S△DBC=S△ADC=

1

2

×1×1=

1

2

S△ABC=

1

2

×

2

× 

2

sin60°=

3

2

所以三棱錐D-ABC的表面積為：S表=

1

2

×3+

3

2

=

3+ 3

2

點評：解決平面圖形翻折問題的關鍵是看準翻折后沒有發生變化的位置關系，抓住翻折后仍然垂直的直線作為條件，從而解決問題．