Question

【題目】已知正三角形ABC的邊長為2，D、E、F分別是BC、CA、AB的中點．
（1）在三角形內部隨機取一點P，求滿足|PB|≥1且|PC|≥1的概率；
（2）在A、B、C、D、E、F這6點中任選3點，記這3點圍成圖形的面積為ξ，求隨機變量ξ的分布列與數學期望Eξ．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1所示，

分別以正△ABC的頂點B、C為圓心，以1為半徑畫圓弧，交邊AB、BC、AC于點F、D、E；

則點P在區域①時滿足條件|PB|≥1且|PC|≥1，

其概率為P=1﹣ =1﹣ =1﹣

（2）解：在A、B、C、D、E、F這6點中任選3點，共有20種不同的取法；

記這3點圍成圖形的面積為ξ，則ξ=0， S△， S△，S△；其中S△= ；

P（ξ=0）= ，P（ξ= S△）= = ，P（ξ= S△）= = ，P（ξ=S△）= ；

所以隨機變量ξ的分布列為：

ξ	0
P

數學期望Eξ=0× + × + × + × =

【解析】（1）根據幾何概型的計算公式，求出滿足條件|PB|≥1且|PC|≥1的概率值即可；（2）根據題意，求出3點圍成圖形的面積ξ的可能取值以及對應的概率值，列出ξ的分布列，計算數學期望Eξ的值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用幾何概型和離散型隨機變量及其分布列的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握幾何概型的特點：1）試驗中所有可能出現的結果（基本事件）有無限多個；2）每個基本事件出現的可能性相等；在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．