Question

已知函數f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數，a，b∈R．

(1)若a＋b≥0，求證：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；

(2)判斷(1)中命題的逆命題是否成立，并證明你的結論．

 

Answer 1

【答案】

(1) 證明：∵a＋b≥0，∴a≥－b. 由f(x)的單調性得f(a)≥f(－b) 又a＋b≥0?b≥－a?f(b)≥f(－a) 兩式相加即得：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b) (2) 逆命題成立，假設a＋b<0，那么，?f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b) 這與已知矛盾，故只有a＋b≥0

【解析】

試題分析：(1)證明：∵a＋b≥0，∴a≥－b.           2分

由已知f(x)的單調性得f(a)≥f(－b)．

又a＋b≥0?b≥－a?f(b)≥f(－a)．         4分

兩式相加即得：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．         6分

(2)逆命題：

f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)?a＋b≥0.           8分

下面用反證法證之．

假設a＋b<0，那么：

?f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．          10分

這與已知矛盾，故只有a＋b≥0.逆命題得證．          12分

考點：函數單調性與反證法

點評：單調性的定義：在定義域的某個區間上，若有則函數為增函數，若有則函數為減函數；反證法證明的大體步驟：假設要證明的結論反面成立，借此推出與已知或定理發生矛盾，推翻假設肯定原結論成立